Sabit Kaynaklı RC Devresi Analizi / 10 Temmuz 2008
Merhaba arkadaşlar bu yazıda RC devrelerinin analizini yapmaya çalışacağız, genellikle kitaplara formül olarak düşülen denklemlerin aslında basit bir birinci mertebeden diferansiyel denklemin çözümünden türediğini göreceğiz.
RC devrelerinde adından da anlaşıldığı üzere ve yukarda da resmi görüldüğü üzere seri bağlı direnç ve kapasiteden oluşan bir devrenin davranışı incelenir. Biz bu basit devrenin analizinde devre analizinin en temel kanunlarından olan KVL yani kirchoff voltaj yasasını kullanacağız.
I yönünde bir KVL dönersek;
1) olur. Burdaki I(t) t anında devrede dolaşan akım ve V(t) t anındaki kapasite gerilimidir.
Kapasitenin tanım denkleminin
Q= C. V olduğunu biliyoruz. Her iki tarafın t ye göre türevini aldığımızda:
dq/dt = C . dV(t)/dt olur. Yani t anındaki kapasite akımının voltajı cinsinden değeri;
I(t) = C . dV(t)/dt olur. Buna göre KVL den yazdığımız ilk eşitlik
2) - ε + C. dv(t)/dt . R + V(t) = 0 haline gelir.
kolaylık olması açısından dV(t)/dt ifadesi yerine V’ yazarsak eşitliğimiz:
3) C.R.V’ + V = ε haline gelir ki bu denklem görmeye alışık olduğumuz diferansiyel denklem modellerindendir; birinci mertebeden, doğrusal, homojen olmayan dif. denklem(first order linear non-homogen diff. equ.). Bu denklemi birinci mertebeden doğrusal diferansiyel denklem(first order linear dif. equ) olarak düşünüp çözebileceğimiz gibi(integral faktörü bularak) yüksek mertebeli diferansiyel denklem çözüm yöntemlerinden birini kullanarak da çözebiliriz. Tabi burada bir mesele de ε un yani devremizin kaynağının nasıl bir davranış gösterdiğidir. Kaynağımızın zamana bağlı değişim gösteriyor olup olmaması çözümümüzü değiştirecektir. Bu yazıda sabit kaynaklı devreleri değerlendirdiğimiz için kaynağımızın sabit olduğunu düşünerek 3 nolu denklemimizi çözelim (Kaynağımız 3V, 5V gibi bir değerde sabit).
Diferansiyel denklemimizin çözümünün Y=Yh + Yp şeklinde olduğunu biliyoruz. Burda Yh , V(t) nin geçici(transient response) tepkisi, Yp V(t) nin kalıcı(steady-state response) tepkisini göstermektedir.Çözümü bulduğumuzda t sonsuza giderken geçici etkinin ortadan kalktığını, kalıcı tepkinin devam ettiğini göreceğiz. Önce Yh i bulalım:
Yh:
C.R.V’ + V = 0
V = c1 . er t
V’ = c1 . r . er t bu iki ifadeyi yukarda yerine yazdığımızda:
c1 . er t ( C. R .r + 1 ) = 0 ise C.R.r = -1
r = - 1/ R.C bu durumda Yh (homojen kısmın çözümü):
Yh = c1. e-t/RC olur.(c1 sabit bir sayıyı temsil ediyor, kapasite sığası C ile bir ilgisi yok.)
Sıra Yp: ın çözümüne geldi, yöntem olarak bilinmeyen katsayılar yöntemi (method of undetermined coefficients) kullanabiliriz, zaten kaynağımız da sabit olduğu için işimiz oldukça kolay. Sağ tarafta 0. dereceden bir polinom gördüğüm için yöntem gereği önereceğim Yp= A olacaktır. Yerine yazıp A yı çektiğimizde(Yp‘ 0 olur ve Yp direkt ε a eşit olur)
Yp:
Yp = ε . Bu durumda genel çözümümüz Yh + Yp ve de orjinal denklemimize uyarlarsak;
V(t) = c1. e-t/RC + ε olur. Burda c1 sabitini bilmiyoruz, bulabilmemiz için bir başlangıç değerine sahip olmamız gerekir( yani herhangi bir t anındaki V(t) yi biliyor olmalıyız ).
V(0) = V0 olarak bildiğimizi varsayalım, genelde 0 anındaki değer verilir veya bulunur.
V(0) = c1 + ε = V0 olacağından
c1 = V0 - ε olur. c1 i yerine yazdığımızda:
V(t) = (V0 - ε). e-t/RC + ε olduğunu buluruz. Böylece bu devrede kapasitemizin geriliminin zamana bağlı davranışını ifade etmiş olduk.
Şimdi de bu sonucu biraz yorumlamaya çalışalım:
t=0 anında kapasite gerilimimiz V(0), eşitliğimizde t yerine 0 yazarsak:
V(0) = (V0 - ε). e-0/RC + ε = V0 - ε + ε = V0 bu sonuç bizi şaşırtmadı çünkü biz hesaplama yaparken kapasitenin 0 anında bir V0 gerilimine sahip olduğunu varsaymıştık. V0 gerilimimiz 0 da olabilir, yani kapasitemizin başlangıç gerilimi olmak zorunda değil.
V(t) nin gidişatına baktığımızda eksponensiyel azalmanın olduğu (V0 - ε) ifadesinin giderek etkisinin azalacağını ve t = sonsuz olduğunda sadece ε değerinin kalacağını görürüz. Nitekim t yerine 0 yazdığımız gibi sonsuz yazarsak V(sonsuz)=ε olduğunu görürüz. Anlaşıldığı üzere ekponensiyel kısım sadece bir süre etkisini gösterdikten sonra etkisini kaybedecek ve kapasite gerilimi -kaynak varlığını sürdürdüğü müddetçe- ε olarak kalacaktır. Ne kadar bir süre? Yukarda da söylediğimiz gibi ekponensiyel kısım ancak sonsuzda 0 olur ve etkisinin tamamen yitmesi için sonsuza kadar beklememiz gerekir
, ancak 5RC kadar vakit geçtiğinde e-5RC/RC ifadesinin alacağı değer çok küçük olacağından 0 olduğu ve artık etki etmediği kabul edilir, yani sorumuzun cevabı 5*R*C saniyelik bir süre. Bu zaman miktarı aynı zamanda 5 zaman sabiti kadar olarak adlandırılır, yani
bir RC devresinde zaman sabitimiz R*C kadardır.
RC Zaman Sabiti:
Daha basit bir ifadeyle RC zaman sabiti bir RC devresinde geçici hal tepkisinin ne kadar süreceği hakkında bilgi verir. Şöyle ki: dolu bir C kapasitesi bir R direnci üzerinden boşaltılmak istenirse veya boş bir C kapasitesi bir R direnci üzerinden doldurulmak istenirse bu işlemlerin herbiri 5*RC kadar zaman alacaktır. Örn: 1 uF bir kapasiteyi 1k üzerinden +X Volta doldurmak istersek bu işlem için 5RC=5*(1/000000)*1000=5ms zaman geçecektir. X volta dolmuş kapasitenin boşaltılması da aynı.
“
Zaman sabitinin birimi nasıl saniye olabilir?” sorusu akıllara gelmiş olabilir, şöyle: kapasite tanım bağıntımız Q=C.V idi, bu durumda C nin birimi coulomb / V dir. RC nin birimi ise ohm*coulomb/V dir. Ohm/V nin 1/A (bir bölü amper) olduğunu ohm yasasından biliyoruz. Bu durumda RC nin birimi coulomb/A oldu. Akımın tanım bağıntısın dQ/dt olduğunu biliyoruz, yani akımın birimi aynı zamanda coulomb/t dir. Bu durumda RC nin birimi coulomb/(coulomb/t) olacağından RC miz saniye cinsinden bir değer olacaktır(akım bağıntısında dQ/dt deki Q coulomb t de saniye cinsindendir).
Hatırlayacağınız üzere V(t) nin ekponensiyel azalmanın olduğu kısmını ilk yazdığımız diferansiyel denklemin(3 nolu denklem) homojen çözümden; ε u bulduğumuz kısmı da diferansiyel denklemimizin particular(kısmi) çözümünden bulmuştuk. Homojen ve particular ifadeleri matematiksel ifadelerdir, bu ifadelerin devremizdeki karşılıkları ise sırasıyla, geçici ve sürekli hal tepkisi dir. Burda geçici hal: (V0 - ε). e-t/RC ifadesinden gelmekte, kalıcı hal ise ε ifadesinden gelmektedir, umarım neden geçici ve kalıcı dediğimiz anlaşılmıştır. Şimdi isterseniz sonucumuzu görselleştirebilmek için kapasitemizin gerilimin zamana göre değişimini veren ifadenin yani V(t) = (V0 - ε). e-t/RC + ε matlab yardımıyla grafiğini çizelim.
Grafiğimizi çizdirmeden önce nasıl bir grafikle karşılaşırız sorusuna cevap aramakta fayda var.İlk durumda kapasitemizdeki gerilimin 0 olduğunu yani olmadığını düşünelim, her şeyden önce ilk değerimizin 0 ve son değerimizin ε olacağını denklemimize baktığımızda görebiliyoruz ve 5RC zamana kadar bir geçiş(artış) olacak(5RC zamandan sonra çok az bir artış sonsuza kadar devam edecek ancak biz o artışı ihmal ediyoruz) ve sonrasında kapasite gerilim ε olarak kalacaktır. Yukarda bulduğumuz V(t) ifadesinden çıkarmamız gereken en önemli sonuçlardan bir tanesi de: Kapasite gerilimi hiç bir zaman sıçrama yapmıyor yani 0 zamanda 3V gibi bir gerilimden 5V gibi bir gerilime atlamıyor, atlayamaz. Bunu kapasitemizin fiziksel yapısını inceleyerek anlayabiliriz: 0 zamanda yükler yer değiştiremez, yüklerin kapasitenin yüzeylerine gelebilmesi için belirli bir zaman geçmesi gerekir. Yeri gelmişken durum değişkeni-state variable- kavramından bahsedelim: Kapasite geriliminin ani değişememesi sebebiyledir ki kapasite elemanının durum değişkeni(state variable) voltajıdır, durum değişkeni “geçmişin geleceği etkileyen özüdür” şeklinde tanımlanır(durum değişkenleri elemanların bellekleriyle ilgilidir, kapasite belleği-hafızası- olan bir elemandır ve belleğinde voltaj değerini tutar). Eğer kapasitenin durum değişkenine akımıdır demeye kalkacak olursak aşağıda göreceğimiz gibi bir anda 0 A den 5 A gibi bir değere çıkabilen bir durum değişkeni bize ne ifade edebilir! Durum kavramı hafızalı sistemler için söz konusudur.
Eğer bir sistemin veya bir elemanın hafızası varsa, o sistemin çıkışını sadece girişler belirlemez, aynı zamanda sistemin o anki durumu da belirler. Örn: Direnç belleksiz bir elemandır, i akımı uygulanırsa i*R gerilimi oluşur veya V gerilimi uygulanırsa V/R akımı oluşur, bunları tereddütsüz söyleyebiliyoruz çünkü direnç belleksiz bir elemandır o anki girişler o anki çıkışları belirler. Ancak kapasitemiz için durum farklı, 1 sn boyunca V gerilimi uyguladım yeni gerilim nedir? Bilemeyiz, gerilim uygulamadan önce kapasitede ne kadar gerilim olduğunu yani kapasitenin durumunu bilmeliyiz. Durum kavramı çok genel bir kavramdır, Sn.Ahmet Dervişoğlu hocamızın sıkça ifade ettiği gibi, hafızalı bir sistemde: Şu anki girişler ve şu anki durumlar, şu anki çıkışları ve yeni durumları belirler. Durum değişkeni için “geçmişin geleceği etkileyen özüdür” tanımı da kendisine aittir.
V0= 0, kaynağımız ε=10V, R=10k ohm C=0.1 uF (RC zaman sabitimiz= 10000ohm * 0.1 uF = 1 ms oldu)
Beraber çizdirelim, Matlab’ı açalım:
t=0:0.0001:10*0.001 yazarak 0 dan 10 milisaniyeye kadar 100 değer oluşturalım.(5. ms de kapasitemizin hemen hemen dolacağını biliyoruz )
Formülümüzü yazalım:
V=(0-10)*exp(-t/10^-3)+10
ve çizdirelim:
plot(t,V)
Eksenlerimize isimlerini verelim:
xlabel(’zaman(saniye)’)
ylabel(’Gerilim(V)’)
grid
Dediğimizde grafiğimiz:
şeklinde çıkmış olmalı, görüldüğü gibi 5RC zamanda (5.ms) kapasitemiz hemen hemen dolmuş, ε=10V değerine ulaşmıştır. RC kadar zamanda kapasitemiziz %63 ü dolmuş olur, yani kapasitemiz 6,3 V a dolmuştur.(Bunu eşitliğimizde t yerine RC yazarak kolayca bulabiliriz) .
Neticeten kapasite olarak adlandırdığımız devre elemanımız nasıl davranıyor?
Uçları arasındaki gerlimi ani değişemiyor(0V iken 5V olamıyor mesela) ancak geçirdiği akım ani-bir anda- değişebiliyor, nitekim devremize kaynağımızı bağlamadan önce akımı 0 iken bağladığımız anda ε/R değerine çıkıyor ve zamanla azalıyor ve sonra sıfır oluyor. Yani kapasitemiz ilk anda geçirebileceği max akımı geçiriyor, 5RC zaman sonra gerilimi kendisini besleyen kaynakla aynı olacağı için akım duruyor, 0 oluyor, çünkü gerilim farkı kalmıyor. Belki biraz genel bir cümle olacak ama: kapasitemiz t=0 anında kısa devre gibi t>5RC zamanında açık devre gibi davranır diyebiliriz(t=0 anında kısa devre gibi davranması başlangıçtaki V(0)=0 olmasına bağlıdır, buradaki t=0 durumu çok göreceli olduğundan kesin bir şey söylemek mümkün değildir ancak cümlemizi şöyle netleştirebiliriz: t=0 anında boş olduğu bilinen bir kapasite t=0 anında kısa devre gibi t>5RC zamanında açık devre gibi çalışır diyebiliriz ). Kapasite gerilimimiz ani yükseliş yapamayacağı gibi ani düşüş de yapamıyor. Şimdi de ani değişimli bir kaynağı(kare dalga üreten) RC devremize uygulayalım ve bakalım kapasitemizin gerilimi nasıl değişiyor:
Görüldüğü gibi kare dalgamız max değerine aniden çıkmasına rağmen kapasite gerilimimiz hemen yetişemiyor(5RC zaman gerekiyor) ve kare dalgamız 0 a düştüğünde de kapasite gerilimimiz hemen sıfıra düşemiyor.
Yaptığımız bu analizin bize kalan yegane pratik bilgisi şudur: Bir kapasite ve bir direnç seri bağlı ve biz bu devreye A V büyüklüğünde DC bir gerilim uyguladık, ne kadar süre sonra kapasite gerilimimiz A V olur, cevap basit: 5*R*C kadar süre sonra. Peki, B V a dolmuş bir kapasitenin kaynak bağlantısını kesip bir R direnci üzerinden boşaltmak istiyoruz, ne kadar sürede boşalır, 0 V olur? 5*R*C sürede.
Kapasitemizin geriliminin zamana göre değişimini bir üstte çizdirdik, peki akımı? Yukarda ilk anda max olduğunu sonra 0 a kadar azaldığını söyledik. Şimdi de yine Matlab yardımıyla (yukarda verdiğimiz değerlerle) kapasitemizin akımının zaman göre değişimini çizdirelim.
Değerlerimiz şöyleydi:
V0= 0, kaynağımız ε=10V, R=10k ohm C=0.1 uF (RC zaman sabitimiz= 10000ohm * 0.1 uF = 1 ms oldu)
Bunun için önce akımın zaman bağlı değişimini veren ifadeyi bulalım.
Kapasitemizin akımının:
I(t) = C . dV(t)/dt olduğunu biliyoruz, o zaman önceden yazmış olduğumuz V(t) ifadesinin t ye göre bir defa türevini alıp C ile çarptığımızda i(t) ifadesini bulabiliriz.
V(t) miz
V=(0-10)*exp(-t/10^-3)+10 idi.
Bu durumda:
i(t)=C*-10*exp(-t/10^-3)/ (-1/10^-3) olur , yani:
i=0.1*10^-6*-10*exp(-t/10^-3)*(1/(-1/10^-3)) olur(ifade biraz karışık görünüyor ancak yaptığımız iş V(t) yi türetip C ile çarpmak).
i=0.1*10^-6*-10*exp(-t/10^-3)*(-1/10^-3) ifadesini matlaba verip t ye bağlı değişimini çizdirmek istediğimizde;
plot(t,i)
grid dediğimizde grafiğimiz:
şeklinde olur, görüldüğü gibi t=0 anında akımımız 10V/10k dan 10^-3 amper yani 10ma.
Akımımız 10 mA den başlayıp(0 anında 0 amperden 10 mA e ani bir çıkış var, demek ki kapasite akımı ani değişim gösterebiliyormuş.) 5RC saniye sonra -kapasite gerilimimiz 10V a ulaştığı için- 0 a düşüyor.