Kompleks Sayıların Alternatif Akım Devrelerine Uygulanması

[Klavyeah]

Kompleks Sayıların Alternatif Akım Devrelerine Uygulanması​

5.1 R-L (DİRENÇ – BOBİN) SERİ DEVRESİ
5.2 R-C (DİRENÇ – KONDANSATÖR) SERİ DEVRESİ
5.3 R-L-C (DİRENÇ – BOBİN – KONDANSATÖR) SERİ DEVRESİ
5.4 R-L (DİRENÇ – BOBİN) PARALEL DEVRESİ
5.5 R-C (DİRENÇ – KONDANSATÖR) PARALEL DEVRESİ
5.6 R-L-C (DİRENÇ – BOBİN – KONDANSATÖR) PARALEL DEVRESİ

GİRİŞ

Sinüzoidal emk’leri ve sinüzoidal akımları dönen vektörlerle gösterilmişti. Kompleks sayılarla vektörlerin toplanması, çıkarılması, çarpılması ve bölünmesi işlemlerini çabuk ve doğru olarak kolayca yapılabildiği matematik de incelendiğinde görülür. Burada kompleks sayıların nasıl olduğu anlatılmayacaktır. Bu herhangi bir matematik kitabından incelendiğinde anlaşılacağını umarım. Kompleks sayılar bize vektörlerin herhangi bir dereceden kuvvetlerini ve köklerini kolayca bulunabilme olanağı da sağlamaktadır. Alternatif akım devrelerinin çözümlerinde büyük kolaylıklar sağlayan bu sayıları devrelerin çözümlerinde sıkça kullanacağız. Vektörlerin toplanmasında ve çıkarılmaları için dik bileşen vektörleri halinde bulunmaları gerekir. Dik bileşen vektörlerini çarpmak, bölmek ve bir kuvvete yükseltmek mümkündür. Fakat uzun ve zordur bu işlemleri kutupsal veya üslü vektörlerle yapmak daha kolay ve kısadır. Yalnız kutupsal ve üslü vektörlerle kök alma işlemi yapılabilir. Herhangi bir vektörün üç şekilde gösterilir.

Bu hatırlatmalardan sonra önceki konularda incelenen devre bağlantı çeşitlerinin analizlerini kompleks sayılarla analizi yapılacaktır.

5.1 R-L (DİRENÇ – BOBİN) SERİ DEVRESİ

Şekil5.1 de seri bağlanmış olan RL devresi kirşofun gerilimler kanunundan, kaynağın gerilimi elemanlar üzerinde düşen gerilimlerin toplamına eşittir. Bu kompleks sayılarla ilk incelediğimiz alternatif akım devresi olduğundan açıklamalı olarak işlemleri ve formülleri çıkartalım.

RL elemanı uçlarına bir alternatif bir U gerilimi uygulandığında bu kaynaktan bir akım çekilecektir. Devre seri olduğundan bu akım değeri devre elemanları

üzerinden aynen geçecektir. Fakat uçlarındaki gerilimle bu akım arasında elemanına göre bir faz farklılığı oluşturacaktır. Bunu önceki konularda elemanları devrede tek olarak bağladığımızdaki akımla gerilim arasındaki faz farklıklarını açıklamıştık. Direnç elemanı üzerinden geçen akım ve uçlarındaki gerilimle herhangi bir faz farkı oluşturmamakta fakat bobin üzerinden geçen akımla uçlarındaki gerilim düşümü ile 90 faz fakı oluşturmakta, akım gerilimden 90 geri fazda kalmakta olduğu önceki konulardan biliniyor. Seri devrede akım değişmediği için baz olarak veya başlangıç ekseni olarak akım alınır. Bu açıklamalarla gerilim ve empedans üçgenlerini oluşturalım.

Şekil5.2 RL seri devresinin gerilim ve empedans üçgeni

Akım seri elemanlardan aynı aktığı için başlangıç ekseninde alınmış, UR direnç akımla gerilim arasında faz farkı oluşturmadığı için UR gerilimi de genliği kadar akımla aynı eksende çizilmiştir. Bobin elemanı üzerinden bir akım geçtiğinde uçlarındaki gerilim, akımdan 90 ilerde olduğundan sanal eksende jUL olarak şekil5.2 de gösterilmiştir. Devre geriliminin dik bileşenler ve kutupsal gösterilişi aşağıdaki gibi olur.

RL seri devresinin eşdeğer empedansı ise şekil5.2 deki empedans üçgeninden dik bileşen ve kutupsal şeklinde gösterimi aşağıdaki şekildedir.

Empedans üçgenine biraz matematiksel işlemler yapıldığında devrenin akımı ile gerilimi arasındaki faz farkı açısını, devrenin empedansı ve faz açısı bilindiğinde devre eleman değerlerinin bulunması gibi formüller ortaya çıkarılabilir.

Alternatif akım devresinde R=2 ohm direnç ile L=0,01 H değerlerindeki iki eleman seri bağlanarak uçlarına 200 V, 50 Hz lik bir gerilim uygulandığında kaynaktan çekilen akımı bulunuz.

Devrenin empedansının bulunabilmesi için endüktif reaktansın aşağıdaki şekilde bulunur, bulunan bu değer devrenin empedansında kullanılır.

250 V ,50 Hz lik bir gerilimle beslenen endüktif devreden 10 A geçmekte ve 750 W harcanmaktadır.R ve L değerleri ile sistemde görünen, harcanan ve reaktif güçleri bulunuz.

buradan reel değer aktif gücü, sanal değer de reaktif gücü vereceğinden P=750 W, Q=2385 VAr

5.2 R-C (DİRENÇ – KONDANSATÖR) SERİ DEVRESİ

Şekil5.3 de görülen devrede direnç elemanı ile kondansatör elemanı seri bağlanıp uçlarına bir alternatif gerilim uygulandığında bu gerilimin devre elemanları üzerinde iki bileşeni vardır. Direnç elemanı üzerindeki gerilim düşümü akımla aynı fazda, kondansatör uçlarındaki gerilim düşümü ise akımdan 90 geri fazdadır.

Bu açıklamalar doğrultusunda seri devre olduğundan akım referans ekseninde alınarak devre vektörü aşağıda şekil5.4 deki gibi çizilir.

Şekil5.4 deki gerilim üçgeninden devrenin gerilim reel eksende olan UR gerilimi ile sanal eksende olan UC geriliminin toplamına eşit olacaktır.

gerilim değeri ve faz açısı buradan bulunur ve devrenin empedansı da şekil5.4 deki empedans üçgeninden dik bileşenler ve kutupsal gösterim şeklindeki formülü bulunur.

Empedans formülü dikkat edilirse vektörel olarak bulduğumuz formülün aynısıdır. Burada reel değer direnç elemanını, sanal kısmını da kapasitif reaktans oluşturmaktadır. Kapasitif reaktansın XC’nin önüne –j getirilmiştir. Bu da (-90) ifade eder. Empedans üçgeninden devre ile ilgili aşağıdaki formüller çıkartılabilir.

Empedans değeri ve faz açısı bilindiği durumda devre elemanlarının değerleri bulunabilir.

Saf bir R direnci ile bir kondansatör seri bağlanmıştır. Sisteme 120 volt, 100 Hz uygulandığı zaman devredeki akım 2,5 amper ve sistemde harcanan güç 240 W tır. R direnci ile C kapasitesinin değerini hesaplayınız.

Direnç elemanının değerini devrede harcanan aktif güç bu eleman üzerinde harcandığı için güç formülünden direnç değeri bulunabilir.

Devre akım ve devre gerilimi bilindiğine göre devrenin empedansı ohm kanunundan faydalanılarak bulunur.

 

[Klavyeah]

Empedans formülü kullanılarak, bu formülden kapasitif reaktans çekilirse kondansatörün kapasitif reaktansının değeri hesaplanabilir.

kapasitif reaktans formülünden kapasite çekilirse, buradan devreye bağlı olan kondansatörün değeri bulunur.

5.3 R-L-C (DiRENÇ – BOBiN – KONDANSATÖR) SERi DEVRESi

Alternatif akım devrelerinin çözümünde devrede direnç, bobin ve kondansatör seri veya paralel şekil5.4 de bağlandıklarında devre elemanları üzerlerinden geçirdikleri akımlarla bir faz farkı meydana getirdikleri bu ana kadar defalarca ifade edilmişti. Bunun açık olarak elemanların özelliklerine göre; direnç akımla gerilim arasında faz farkı sıfır, bobin elemanı uçlarındaki gerilim akımdan 90 ileri fazda ve kondansatör uçlarındaki gerilim akımdan 90 geri fazdadır. Buda kompleks sayılarla ifadesi biliniyor ki +j, 90 yi ve –j de (-90) ile gösterilmektedir. Bu durumda kapasitif reaktans değerinin önüne (-jXC), endüktif reaktansın önüne ise (+j) konulacaktır. Bu gösterimde jXL olur. şekil5.5 de bu durum gösterimi yapılarak bu devrenin kompleks çözüm formülleri çıkartılmıştır.
Yukarıdaki açıklamalar doğrultusunda devrenin gerilim üçgeni ve empedans üçgenini çizerek RLC devresinin formülleri çıkartılır. RLC seri devresinde kapasitif reaktansın endüktif reaktansa eşit, büyük ve küçük olduğu durumlar mevcuttur. Bu önceki konularda açık bir şekilde incelemesi yapılmıştı. Bu hatırlatmalar ışığında XL<XC durumunun empedans ve gerilim üçgeni şekil5.6daki gibi olur.

Gerilim üçgeninin elde edilmesi Empedans üçgenin elde Edilmesi

Devre gerilimi, gerilim üçgeninden;

bu dik üçgenden matematik kurallar doğrultusunda güç katsayısı ve akımla gerilim arasındaki faz farkı açıları da bulunabilir. Bu vektörel çözümde ayrıntılı bir şekilde açıklanmıştı. Ayrıca devre elemanları uçlarındaki gerilim düşümlerinin değerleri de aşağıdaki gibi bulunur.

dikkat edilirse XL<XC durumu devrenin RC seri devre özelliği taşıdığını ve XL>XC durumu ise devre RL seri devre özelliği taşır.

şekil5.7 deki alternatif akım devresinde değerleri verilen RLC elemanları seri bağlanarak bu devreye alternatif bir gerilim uygulanmıştır. Bu devrede kaynaktan çekilen akımı, devrenin güç katsayısını, eleman üzerlerindeki gerilim düşümlerini bulunuz.

5.4 R-L (DiRENç – BOBiN) PARALEL DEVRESi

Seri devrelerde karmaşık sayıların alternatif akıma nasıl uygulandığı vektörel gösterimlerle açıklanmıştı. Paralel devrede de aynı kurallarla kompleks sayılar paralel devrede de uygulanarak devre çözümü yapılabilir. Paralel devre özellikleri kullanılarak paralel devrenin çözümü, elemanların bağlantılarına göre çözümü kompleks sayılarla yapalım. şekil5.8 deki RL paralel devresinin devre empedans, kaynaktan çekilen akım, eleman üzerlerinden geçen akımların formüllerini çıkartalım.

Devre elemanlarının toplam empedansının bulunması için, eleman değerlerinin tersi alınıp toplandığın da bulunur. Karışık devrelerde işlemlerin basit olması için devre elemanlarının isimlerini Z1(Z1=R), Z2(Z2=jXL) gibi isim verilerek eşdeğer empedans formülü aşağıdaki gibi olur.

RL devresi için devre empedansı bu genel formülde yerine konularak aşağıdaki gibi olur.

Kaynaktan çekilen akım ve kol akımları ohm kanunundan faydalanılarak bulunur.

şekil5.9 RL paralel devresinin akım ve admidans üçgeni

Paralel devrede şekil5.9daki RL paralel devresi akımının dik bileşenler ve kutupsal gösterim olarak aşağıdaki gibi olur.

şekil5.10 da verilen RL paralel devresinin;

1- Devrenin admidansını
2- Devrenin empedansını
3- Kaynaktan çekilen akımı ve kol akımlarını hesaplayınız.

Devreye bağlı olan elemanları Z1=R=10 ohm, Z2=jXL1=2 H ve Z3=jXL2 olarak tanımlayalım.

5.5 R-C (DiRENç – KONDANSATöR) PARALEL DEVRESi

şimdiye kadar direnç elemanının devre gerilimi ile bir faz farkı oluşturmadığı sadece alternatif akımın genliğini değiştirdiğini gördük. Fakat devrede bobin veya kondansatör seri veya paralel bağlansınlar bu akımla gerilim arasında bir faz farkı getirdiği bu faz farkından dolayı da kompleks sayıların sanal ekseninde yer aldığı görülmüş oldu. Artık şu açıklamayı yapmakta hiçbir sakınca yoktur. Eğer devrenin çözümü kompleks sayılarla çözülecekse endüktif reaktans değerinin önüne +j (+90 yi ifade eder), kapasitif reaktan önüne ise –j (-90 yi ifade eder) koyarak devrenin istenen değerleri kompleks çözümlerle bulunabilir. şekil5.11deki RC paralel devresinin bu açıklamalarla çözümünü yapalım.

şekil5.11 deki devrenin kaynaktan çekilen akımı, elemanlar üzerinden geçen akımları ve devrenin empedansını hesaplayınız.

Paralel bağlı olduğundan, paralel devre özellikleri hatırlanırsa devre gerilimi eleman üzerlerinde aynen görülür. Bu duruma göre ohm kanunundan devreden çekilen akım ve kol akımları bulunur.

paralel devrede kirşofun akımlar kanunu uygulanırsa devrenin kaynaktan çektiği IT akımı bulunur.

5.6 R-L-C (DiRENç – BOBiN – KONDANSATöR) PARALEL DEVRESi

RL, RC paralel devresindeki yapmış olduğumuz açıklamalar RLC devresinde de geçerlidir. RLC devresinde sanal değer olarak her iki eleman bağlı olduğu için bu elemanlar arasında 180 faz farkı oluşturmaktadır. Kompleks eksenin bobin ve kondansatör sanal değerin birisi pozitif diğeri ise aynı eksen üzerinde negatif de olmaktadır. örnek5.7de RLC paralel devresini açıklamalı çözümünü yapalım.

şekil5.12deki RLC paralel devresine 5sinwt gerilimi uygulanmaktadır. Kol akımlarını, devrede harcanan gücü ve direnç üzerinden geçen akımı ampermetre ile ölçüldüğünde göstereceği değeri bulunuz.

şekil5.12 RLC paralel devresi

Kompleks sayılarla çözüm yapılacak olmasından dolayı kaynağın gerilimi dikkat edilirse u=5sinwt olarak verilmiştir. Bu kompleks gösterimde eşiti tepe değeri ve açı değeri olarak yazılır.

Burada eğer gerilim değeri u=10sin(wt+45) verilmiş olsaydı bu durumda aşağıdaki şekilde yazılırdı.

bu açıklamalardan sonra örnekte çözümü istenen kol akımları ohm kanunundan çözülür.

Güç, kaynaktan çekilen akım ile gerilimin çarpımı o devrede harcanan gücü verdiği güç konusunda açıklanmıştı. Buna göre bu devrenin harcadığı gücü bulmak için kaynaktan çekilen akımı bulmak gerekir. Bu akımı da kirşofun akımlar kanunundan faydalanılarak bulabiliriz.

Devrenin görünür güç bulunarak, devre harcanan aktif ve reaktif güç bulunur.

Görünür gücün kompleks sayıların dik bileşen şeklideki gösteriminde reel değer aktif (P, wattlı gücü), sanal değer ise reaktif (Q, VAr) gücü verir. Bu açıklamalardan sonra P=12,5W ve Q=2,5 VAr bulunur. Aktif güç direnç elemanı üzerinde harcanan güçtür.

Direnç üzerindeki akımın ölçü aleti ile ölçüldüğünde, ampermetre efektif akımı ölçeceğinden bulunan IR akımı maksimum akımdır. Onun için bulunan akımın efektif değeri 0,707 ile çarpılması gerekir.
ölçü aletinin göstermesi gereken IR akımı aşağıdaki bulunan değer olması gerekir.
bu değer maksimum değer ölçü aletinin göstermesi gereken değer 1,76 A dir.

 

[alieren2004]

tam aradığım konu teşekkürler